在数学分析中，函数的连续性和可导性是两个重要的概念。这两个性质之间存在着紧密的联系和区别，理解它们之间的关系对于深入掌握微积分至关重要。
连续性
首先，我们来回顾一下什么是连续性。直观上，如果一个函数在其定义域内没有“断裂”或“跳跃”，那么我们就说这个函数在这个点是连续的。更严格地讲，对于函数\(f(x)\)在某一点\(x_0\)处连续，需要满足以下三个条件：
1. \(f(x_0)\)存在；
2. \(\lim_{x\to x_0}f(x)\)存在；
3. \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)。
简单来说，就是函数在该点的极限值等于其在该点的函数值。
可导性
接下来，我们来看看可导性。如果函数\(f(x)\)在某一点\(x_0\)处可导，意味着在这一点上，函数具有一个确定的切线斜率。用极限的语言描述，如果函数在\(x_0\)处的左导数和右导数相等，则称\(f(x)\)在\(x_0\)处可导。即：
\[f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
这个极限必须存在且唯一。
连续性与可导性的关系
现在，我们讨论连续性与可导性之间的关系。可以得出以下结论：
1. 可导必连续：如果一个函数在某一点可导，那么它在这一点一定连续。这是因为可导性要求函数在这一点处不仅要有确定的斜率，还要保证极限的存在，这自然就包含了连续性的要求。
2. 连续未必可导：但是，连续的函数不一定可导。一个典型的例子是绝对值函数\(f(x) = |x|\)在\(x=0\)处连续，但不可导。因为虽然该点处函数值没有“跳跃”，但是由于左右导数不相等（左导数为-1，右导数为+1），所以在\(x=0\)处不可导。
总之，连续性和可导性是函数分析中的基本属性，两者既有密切联系又有本质区别。理解这些概念及其相互关系，有助于更深入地理解和应用微积分理论。
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